＊＊＊確率は縺れるか？＊＊＊

これは先日ＴＶで観たお話(番組名と日時は失念)。
アメリカの番組でのボーナスチャンス！
３つの箱のどれかひとつに豪華賞品が入っている。
挑戦者はひとつを選ぶ…確率は1/3だ。
さてここで番組司会者は、
残りのうちひとつを開ける…当然これは空箱。
さてここで挑戦者は残った２つの箱から選びなおすことが出来る。
選択を変えるべきか…？

で、とても頭の良い女性が言ったそうだ。
「変えた方が当たるわよ！」
…本当？

箱を便宜上1/2/3で表す。
当たりの箱：最初の選択はこう。

[1:1]
[1:2]
[1:3]

[2:1]
[2:2]
[2:3]

[3:1]
[3:2]
[3:3]

ここで確率は1/3…では司会者が空箱を開けます！

[1:1:2]
[1:1:3]
[1:2:3]
[1:2:3]
[1:3:2]
[1:3:2]

[2:1:3]
[2:1:3]
[2:2:1]
[2:2:3]
[2:3:1]
[2:3:1]

[3:1:2]
[3:1:2]
[3:2:1]
[3:2:1]
[3:3:1]
[3:3:2]

重複はこの時点の確率の均等化のため。ここが重要なポイントです。

では２回目の選択…変えずに当選を○、変えて当選を◎で示します。

[1:1:2:1]○
[1:1:2:3]
[1:1:3:1]○
[1:1:3:2]
[1:2:3:1]◎
[1:2:3:2]
[1:2:3:1]◎
[1:2:3:2]
[1:3:2:1]◎
[1:3:2:3]
[1:3:2:1]◎
[1:3:2:3]

[2:1:3:1]
[2:1:3:2]◎
[2:1:3:1]
[2:1:3:2]◎
[2:2:1:2]○
[2:2:1:3]
[2:2:3:1]
[2:2:3:2]○
[2:3:1:2]◎
[2:3:1:3]
[2:3:1:2]◎
[2:3:1:3]

[3:1:2:1]
[3:1:2:3]◎
[3:1:2:1]
[3:1:2:3]◎
[3:2:1:2]
[3:2:1:3]◎
[3:2:1:2]
[3:2:1:3]◎
[3:3:1:2]
[3:3:1:3]○
[3:3:2:1]
[3:3:2:3]○

○:6/36 (1/6) ◎:12/36 (1/3) 計:18/36 (1/2)

変えないで1/6、変えて1/3、全体で1/2の確率になっています。
だが変えない場合が1/6になってしまうのはおかしいのでは？

その種明かしはこうなる。
「絶対に選択は変えない」という条件で試行してみると…

[1:1:2:1]○
[1:1:3:1]○
[1:2:3:2]
[1:2:3:2]
[1:3:2:3]
[1:3:2:3]

[2:1:3:1]
[2:1:3:1]
[2:2:1:2]○
[2:2:3:2]○
[2:3:1:3]
[2:3:1:3]

[3:1:2:1]
[3:1:2:1]
[3:2:1:2]
[3:2:1:2]
[3:3:1:3]○
[3:3:2:3]○

○:6/18(1/3)

確率は元通り1/3に回復する。
じゃあ「必ず変える」場合は…？

[1:1:2:3]
[1:1:3:2]
[1:2:3:1]◎
[1:2:3:1]◎
[1:3:2:1]◎
[1:3:2:1]◎

[2:1:3:2]◎
[2:1:3:2]◎
[2:2:1:3]
[2:2:3:1]
[2:3:1:2]◎
[2:3:1:2]◎

[3:1:2:3]◎
[3:1:2:3]◎
[3:2:1:3]◎
[3:2:1:3]◎
[3:3:1:2]
[3:3:2:1]

◎:12/18(2/3)

なんと…2/3だ！
女性の言っている事は正しいかも知れない。

自習課題：これを検証するプログラムを書いてみよう。

by K-ARAI  [ http://www13.plala.or.jp/beni/ ]

(記 2011.08.22)

(再 2017.08.11)